Le Forum du CERPHI

Eric Puisais

Résumé de la communication de M. E. Barot

Les contours et contenus des concepts de paradigme, rupture, crise et révolution, parmi d’autres, sont loin d’être exactement cernés. Sur la base de la restitution historiographique de certains aspects du développement des mathématiques aux 19ème et 20ème siècle, notre propos, épistémologique, visera avant tout à les examiner afin de dissocier les concepts de crise et de révolution.

(I) Le 19ème siècle fut, en un sens commun, une ère « révolutionnaire » pour les mathématiques : on s’intéressera d’abord à deux mouvements théoriques, touchant l’analyse d’abord, la géométrie ensuite.
(A) L’arithmétisation de l’analyse fait disparaître définitivement l’appel aux infiniment petits, et par là, apporte une fondation rigoureuse au calcul infinitésimal, en fournissant un concept opératoire de limite témoignant d’une inflexion centrale : ce concept, omniprésent littéralement mais mal cerné conceptuellement, depuis le 17ème siècle, ne devient plus qu’un concept parmi d’autres, sans enjeu réel. Les problématiques fondationnelles se déplacent alors : les questions d’analyse vont, notamment par l’intermédiaire de Cantor, laisser la place aux questions ensemblistes. La crise des fondements, loin d’être à l’origine d’une révolution scientifique, apparaît plutôt comme une conséquence, au niveau de ces questions ensemblistes, d’un changement déjà opéré du paradigme analytique.
(B) L’établissement d’abord des géométries « non-euclidiennes », ensuite celui de la théorie des espaces abstraits à n dimensions, constituent l’essentiel d’un processus d’algébrisation/ déspatialisation du géométrique, incarné par le Programme d’Erlangen de Klein en 1871. Cette relativisation de notre saisie rationnelle de l’espace empirique, est le noyau rationnel d’un changement, contemporain du premier, du paradigme géométrique. La reconstruction axiomatique formelle, c’est-à-dire sans aucun appel à l’intuition, de la géométrie euclidienne par Hilbert en 1899, inféodée à la consistance de l’arithmétique, témoigne également d’une inflexion majeure, que l’on peut relier à l’évolution de l’analyse. Dans les deux cas, en effet, émerge la fonction centrale de la méthode axiomatique.

(II) Outil technique permettant la solution des paradoxes ensemblistes, instrument de reconstruction des connaissances acquises et de la théorie naissante des systèmes formels, la méthode axiomatique, au cœur du nouveau champ théorique de la logique mathématique, apparaît alors en effet comme un moteur voire comme le guide nouveau de la raison mathématique. On essayera donc de montrer qu’elle est d’abord le fruit de ce double processus révolutionnaire du 19ème siècle d’abord, l’indice et l’agent d’une rupture bien réelle, mais une rupture non révolutionnaire ensuite. La philosophie mathématique contemporaine montre en effet que nous pensons encore dans les termes de cette crise, termes qui sont loin d’être dépassés, quoique cette crise soit historiquement du passé – si tant est que la crise ne soit pas, au fond, conceptuellement structurelle. Notre usage de l’historiographie ne sera pas sans soulever, bien sûr, des questions classiques, en particulier celle de la rétrospection, qu’il nous faudra prendre en charge.
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